Почему не мүсүөй, интересный вопрос, возможно сыграло роль то, что там раньше было произношение музэй.
В произношении музей vs. музэй ударные гласные немного различаются подъёмом, ряд у них одинаковый.
Я так и не уловил системы, по какому гласному происходит гармонизация, ср. дэмэкирээт (← демократ), докумуон (← документ), гармонизация по первому гласному, сыана (← цена), тыйаатыр (← театр) гармонизация по второму гласному.