А не наоборот?
Наверное, в ливвиковском наречии сохранились черты карельского языка XIII века.
Нет, не наоборот. В ливвиковском наречии есть несколько характерных фонетических развитий, не представленных в других карельских, в частности, isV > ižV. И в грамоте можно увидеть слово «нимижи», это местный падеж (комитатив?) от nimi с лично-притяжательным суффиксом 2 л. ед.ч., вероятное значение, «с твоим именем».
Маловероятно, что в наречиях карельского языка свистящий перешёл в щипящий, а потом обратно в свистящий кроме как в ливвиковском.