В случае «начал» акцент на начале процесса, а в случае «стал» на его результате (погода начала портиться vs. погода стала плохой).
Мне кажется, у Вас тут неудачное противопоставление. "Погода стала плохой" - это другое значение глагола 'стать'. Для данного случая верно будет "погода стала портиться".
Мне кажется, тут дело не в начале и результате. Возьмем, например, такое предложение: "Он стал ходить по комнате взад-вперед". Здесь результат ни при чем. Более того, тут явно подчеркивается, что процесс начался. И, честно говоря, я с трудом могу назвать отличие по смыслу от предложения "он начал ходить по комнате взад-вперед".
На мой взгляд, тут отличие в чем-то другом. Например, можно сказать "после ремонта завод начал работать снова", а вот "поосле ремонта завод стал работать снова" вряд ли кто скажет. Еще в отрицании они иногда заметно невзаимозаменяемы: "его убеждали, но он не стал этого делать". Тут 'начал' неуместно.
Может быть, тут такая ситуация, что есть моменты пересечения, где они взаимозаменяемы и полностью совпадают по значению, а в других случаях - нет.