И как татары-монголы стали татарами тюрками?
Никак, татары — это одно из самоназваний тюрков, монголами они никогда не были (только по подданству).
Татарией называлась вся огромная приуральская и зауральская территория, которую начиная с XVI века присоединяли к Российскому государству. Включая Якутию и Чукотку.
Потом на неё
распространилось название Сибирь, а Татарию вытеснили в Среднюю Азию и Маньчжурию, оставив только анклавы волжских и крымских татар.
