Языковая политика

Общие обсуждения => Наука и техника => Topic started by: Bhudh on 19 December 2023, 05:54:19

Title: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 19 December 2023, 05:54:19

В сети завирусилась следующая геометрическая задачка.
Найти площадь фигуры, образованной пересечением двух дуг окружностей, расположенных внутри квадрата:

(http://puu.sh/JX0zK.png)

Со своей стороны замечу, что площадь маленького криволинейного треугольника с вертикальной правой стороной квадрата в качестве основания (то есть "хвоста" рыбки, "тело" которой надо найти в задаче) получается даже интереснее.

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: cetsalcoatle on 19 December 2023, 06:07:01

https://ru.wikipedia.org/wiki/Решение_треугольников#Решение_сферических_треугольников (http://)

Почитал, почувствовал себя тупым, закрыл. :(

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Квас on 19 December 2023, 21:43:38

Считается численным интегралом!

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 19 December 2023, 22:05:04

А если не?

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 19 December 2023, 22:14:24

По-быстрому прикинул
∫[0,3.2](sqrt(4-(x-2)^2)-(4-sqrt(16-x^2)))dx≈3.846973382103313
Что бы это могло значить и как оно решается без читерства -- надо дальше думать.

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 19 December 2023, 23:14:25

Вот ещё одно решение:
https://diego.assencio.com/?index=8d6ca3d82151bad815f78addf9b5c1c6
В нашем случае r₁=4, r₂=2 и d=sqrt(4²+2²)=2*sqrt(5)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 19 December 2023, 23:36:41

Есть вот такая картинка, немного подсказывающая, как решить через площадь секторов:

(http://puu.sh/JX3KG.png)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 19 December 2023, 23:55:35

Quote from: Upliner on 19 December 2023, 23:14:25

Вот ещё одно решение:
https://diego.assencio.com/?index=8d6ca3d82151bad815f78addf9b5c1c6
В нашем случае r₁=4, r₂=2 и d=sqrt(4²+2²)=2*sqrt(5)

По новой формуле результат получается похожий, но наверное более точный, чем через тупой расчёт интеграла (хз каким алгоритмом мобильное приложение считало)

Code: [Select]

from math import asin, acos
a = 4
b = 2
d = 20**0.5
d1=(a**2-b**2+d**2)/(2*d)
d2=d-d1
print(a**2*acos(d1/a)-d1*(a**2-d1**2)**0.5+b**2*acos(d2/b)-d2*(b**2-d2**2)**0.5)
Выводит 3.8469566151892582

Quote from: Bhudh on 19 December 2023, 23:36:41

Есть вот такая картинка, немного подсказывающая, как решить через площадь секторов:

Хмм, пока так и не догнал...

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Квас on 20 December 2023, 00:00:10

В принципе, если сложить площади секторов, получится площадь четырёхугольника плюс искомая (потому что она два раза сплюсуется). Четырёхугольник из двух одинаковых прямоугольных треугольников составлен, это просто. А сектора - углы надо знать.  В принципе, их из треугольника можно найти, катеты 4 и 2.

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Квас on 20 December 2023, 00:00:37

Неужели числа пи нет в ответе?

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 20 December 2023, 00:10:10

Дошло: (сектор AES-(треугольник BAE-секторABr))*2. Угол ABE у нас arctg 1/2 = 30* = pi/6

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 20 December 2023, 00:29:09

А вот и нифига. При 30° гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а не второй катет.

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 20 December 2023, 00:31:41

Да, уже понял. Перепутал арктангенс с арксинусом. Получается где-то 26.57°

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 20 December 2023, 00:33:23

Вот так точнее:

(http://puu.sh/JX3X8.png)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 20 December 2023, 00:35:58

ОК, ещё немного упростили формулу:

Code: [Select]

>>> ((pi/2-atan(1/2))*2**2/2-(4-atan(1/2)*4**2/2))*2
3.846956615189259
UPD: если пораскрывать скобки, то получим:

Code: [Select]

>>> pi*2+atan(0.5)*12-8
3.84695661518926


Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 20 December 2023, 00:48:17

Вы когда успели pi из math экспортировать⁈ ::)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 20 December 2023, 00:56:19

Я ж не все эксперименты сюда выкладывал. Вот есть ещё вариант без "пи", с одними арктангенсами, чтобы меньше импортировать:

Code: [Select]

>>> 4*(atan(2)+atan(0.5)*4-2)
3.84695661518926


Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 20 December 2023, 01:18:07

Красиво:

(http://puu.sh/JX46y.png)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Upliner on 20 December 2023, 21:36:34

А теперь по поводу криволинейного треугольника

Code: [Select]

>>> from math import pi, atan
>>> 4**2-4**2*pi/4-2**2*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12-8
0.9974006936505013
>>> 16-4**2*pi/4-2**2*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12-8
0.9974006936505013
>>> 8-16*pi/4-4*pi/2+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi-2*pi+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi-2*pi+pi*2+atan(0.5)*12
0.9974006936505004
>>> 8-4*pi+atan(0.5)*12
0.9974006936505004


Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Bhudh on 20 December 2023, 22:26:30

И площадь всей рыбки получается
(https://lingvopolitics.org/index.php?action=dlattach;topic=4942.0;attach=1967;image)

Title: Re: Эйлерова площадь
Post by: Solowhoff on 20 December 2023, 22:42:30

у воєнний час значення сінуса може досягати і 4
просто це секретні данні і вчених не повідомили